E = mc2
“Imaginem, en primer lloc, un món bidimensional. Criatures planes amb eines planes (especialment regles rígids plans) es mouen lliurement en un pla. Res no existeix per a elles fora d’aquest pla: tot el que s’hi esdevé, tot el que elles observen en elles mateixes i els seus objectes plans, està relacionat causalment. El món d’aquests éssers, a diferència del nostre, té dues dimensions espacials, però, com el nostre, s’estén il·limitadament. Hi caben infinits quadrats de varetes idèntics, és a dir, que el seu volum (superfície) és infinit. Aquests éssers poden dir que el seu món és «pla», en el sentit que amb les seves varetes poden realitzar les construccions de la geometria euclidiana del pla, on cada vareta representa la mateixa distància independentment de la seva posició.
Imaginem ara un altre món bidimensional, però no sobre un pla sinó sobre una superfície esfèrica. Les criatures planes, amb els seus regles i d’altres objectes, jeuen exactament en aquesta superfície i no poden abandonar-la; el seu enter univers perceptiu s’estén exclusivament sobre la superfície de l’esfera. Poden aquestes criatures considerar la geometria del seu món com una geometria bidimensional euclidiana, i les seves varetes com la realització de la «distància»? No poden. Perquè quan provin de construir una recta obtindran una corba, que nosaltres els «tridimensionals» anomenem cercle: una línia tancada d’una longitud finita determinada, que es pot mesurar amb una vareta. Aquest món té, d’altra banda, una superfície finita que es pot comparar amb la d’un quadrat de varetes. L’encís de sumir-se en aquesta reflexió rau en el reconeixement que el món d’aquests éssers és finit i tanmateix no té límits.
Les criatures de l’esfera, però, no necessiten donar la volta al món per adonar-se que no viuen en un món euclidià. Se’n poden convèncer a qualsevol part del seu món que no sigui massa petita. Per fer-ho, tracen a partir d’un punt i en totes direccions «línies rectes» de la mateixa longitud (tridimensionalment són arcs de circumferència), i anomenem circumferència a la línia que uneix els extrems lliures d’aquestes rectes. En la geometria euclidiana del pla, la raó entre el perímetre de la circumferència i el seu diàmetre, tots dos mesurats amb la mateixa vareta, és igual a una constant π independent del diàmetre de la circumferència. Les nostres criatures trobaran per a aquesta raó sobre la seva superfície esfèrica π [sin (r/R)] / [r/R] , és a dir, un valor menor que π , tant més petit com més gran sigui el radi de la circumferència en comparació amb el radi R del «món esfèric». A partir d’aquesta relació, les criatures de l’esfera en poden determinar el radi R, fins i tot quan només disposen d’una part relativament petita del seu món esfèric per fer les seves mesures. Si aquesta part és massa petita, no podran constatar que es troben en un món esfèric i no en un pla euclidià, perquè un fragment petit d’una superfície esfèrica es distingeix poc d’un fragment igual de petit d’un pla.
Així doncs, si les criatures esfèriques viuen en un planeta el sistema solar del qual ocupa només una part infinitament petita del món esfèric, no els és possible decidir si viuen en un món finit o en un d’infinit, perquè en tots dos casos la part del món accessible a la seva experiència és pràcticament plana o euclidiana. Veiem directament que, per a les nostres criatures esfèriques, el perímetre de la circumferència creix primer amb el radi fins assolir el «perímetre del món», per decréixer després gradualment fins anul·lar-se a mesura que el radi continua creixent. La superfície del cercle creix i creix fins que iguala la superfície total del món esfèric sencer.
Potser qui llegeix s’estranyi que haguem col·locat les nostres criatures precisament sobre una esfera i no una altra superfície tancada. Però això té la seva justificació, ja que la superfície d’una esfera es distingeix de la resta de superfícies tancades per la propietat que tots els seus punts són equivalents. És cert que la raó entre el perímetre P d’una circumferència i el seu radi r depèn de r, però donat r és el mateix per a tots els punts del món esfèric, que és una superfície de curvatura constant.
El món esfèric bidimensional té un anàleg tridimensional, l’espai esfèric tridimensional descobert per Riemann. Els seus punts també són tots equivalents, i té un volum finit determinat pel seu «radi» (2 π 2R3). És possible d’imaginar un espai esfèric? Imaginar un espai esfèric no és altra cosa que imaginar un conjunt d’experiències «espacials», és a dir, experiències amb cossos «rígids» en moviment. En aquest sentit, un espai esfèric és imaginable.
Des d’un punt tracem línies rectes (o tibem cordills) en totes direccions i en cada una d’elles assenyalem la longitud r mitjançant el regle unitat. Els extrems d’aquestes línies es troben sobre la superfície d’una esfera. Podem mesurar la seva superfície S mitjançant un quadrat unitari. En un món euclidià, S = 4 π r2; en un món esfèric, S és sempre menor que 4 π r2. A mesura que creix el radi, S creix des de zero fins a un màxim determinat pel «radi del món», per decréixer després gradualment fins anul·lar-se a mesura que el radi r de l’esfera continua creixent. Les rectes radials que parteixen de l’origen s’allunyen primer les unes de les altres, després tornen a apropar-se, i finalment convergeixen en el «punt oposat» al de partida, després de recórrer tot l’espai esfèric. És fàcil convèncer-se que l’espai esfèric tridimensional és del tot anàleg al bidimensional (la superfície de l’esfera). És finit (és a dir, de volum finit) sense tenir límits.
Observem que hi ha una varietat de l’espai esfèric, l’«espai el·líptic». Se’l pot considerar com un espai esfèric en què els «punts oposats» són idèntics (no distingibles). En certa manera, podem veure un món el·líptic com un món esfèric amb simetria central.
Del que hem dit es dedueix que podem concebre espais tancats sense límits, entre els quals destaca l’espai esfèric (o el·líptic) per la seva simplicitat, ja que tots els seus punts són equivalents. El que hem dit planteja als astrònoms i als físics una qüestió summament interessant, la de si el món en què vivim és infinit o bé finit, a la manera del món esfèric. La nostra experiència no ens permet ni de lluny contestar aquesta pregunta. Però la teoria de la relativitat general permet respondre-la amb força seguretat.”
Imaginem ara un altre món bidimensional, però no sobre un pla sinó sobre una superfície esfèrica. Les criatures planes, amb els seus regles i d’altres objectes, jeuen exactament en aquesta superfície i no poden abandonar-la; el seu enter univers perceptiu s’estén exclusivament sobre la superfície de l’esfera. Poden aquestes criatures considerar la geometria del seu món com una geometria bidimensional euclidiana, i les seves varetes com la realització de la «distància»? No poden. Perquè quan provin de construir una recta obtindran una corba, que nosaltres els «tridimensionals» anomenem cercle: una línia tancada d’una longitud finita determinada, que es pot mesurar amb una vareta. Aquest món té, d’altra banda, una superfície finita que es pot comparar amb la d’un quadrat de varetes. L’encís de sumir-se en aquesta reflexió rau en el reconeixement que el món d’aquests éssers és finit i tanmateix no té límits.
Les criatures de l’esfera, però, no necessiten donar la volta al món per adonar-se que no viuen en un món euclidià. Se’n poden convèncer a qualsevol part del seu món que no sigui massa petita. Per fer-ho, tracen a partir d’un punt i en totes direccions «línies rectes» de la mateixa longitud (tridimensionalment són arcs de circumferència), i anomenem circumferència a la línia que uneix els extrems lliures d’aquestes rectes. En la geometria euclidiana del pla, la raó entre el perímetre de la circumferència i el seu diàmetre, tots dos mesurats amb la mateixa vareta, és igual a una constant π independent del diàmetre de la circumferència. Les nostres criatures trobaran per a aquesta raó sobre la seva superfície esfèrica π [sin (r/R)] / [r/R] , és a dir, un valor menor que π , tant més petit com més gran sigui el radi de la circumferència en comparació amb el radi R del «món esfèric». A partir d’aquesta relació, les criatures de l’esfera en poden determinar el radi R, fins i tot quan només disposen d’una part relativament petita del seu món esfèric per fer les seves mesures. Si aquesta part és massa petita, no podran constatar que es troben en un món esfèric i no en un pla euclidià, perquè un fragment petit d’una superfície esfèrica es distingeix poc d’un fragment igual de petit d’un pla.
Així doncs, si les criatures esfèriques viuen en un planeta el sistema solar del qual ocupa només una part infinitament petita del món esfèric, no els és possible decidir si viuen en un món finit o en un d’infinit, perquè en tots dos casos la part del món accessible a la seva experiència és pràcticament plana o euclidiana. Veiem directament que, per a les nostres criatures esfèriques, el perímetre de la circumferència creix primer amb el radi fins assolir el «perímetre del món», per decréixer després gradualment fins anul·lar-se a mesura que el radi continua creixent. La superfície del cercle creix i creix fins que iguala la superfície total del món esfèric sencer.
Potser qui llegeix s’estranyi que haguem col·locat les nostres criatures precisament sobre una esfera i no una altra superfície tancada. Però això té la seva justificació, ja que la superfície d’una esfera es distingeix de la resta de superfícies tancades per la propietat que tots els seus punts són equivalents. És cert que la raó entre el perímetre P d’una circumferència i el seu radi r depèn de r, però donat r és el mateix per a tots els punts del món esfèric, que és una superfície de curvatura constant.
El món esfèric bidimensional té un anàleg tridimensional, l’espai esfèric tridimensional descobert per Riemann. Els seus punts també són tots equivalents, i té un volum finit determinat pel seu «radi» (2 π 2R3). És possible d’imaginar un espai esfèric? Imaginar un espai esfèric no és altra cosa que imaginar un conjunt d’experiències «espacials», és a dir, experiències amb cossos «rígids» en moviment. En aquest sentit, un espai esfèric és imaginable.
Des d’un punt tracem línies rectes (o tibem cordills) en totes direccions i en cada una d’elles assenyalem la longitud r mitjançant el regle unitat. Els extrems d’aquestes línies es troben sobre la superfície d’una esfera. Podem mesurar la seva superfície S mitjançant un quadrat unitari. En un món euclidià, S = 4 π r2; en un món esfèric, S és sempre menor que 4 π r2. A mesura que creix el radi, S creix des de zero fins a un màxim determinat pel «radi del món», per decréixer després gradualment fins anul·lar-se a mesura que el radi r de l’esfera continua creixent. Les rectes radials que parteixen de l’origen s’allunyen primer les unes de les altres, després tornen a apropar-se, i finalment convergeixen en el «punt oposat» al de partida, després de recórrer tot l’espai esfèric. És fàcil convèncer-se que l’espai esfèric tridimensional és del tot anàleg al bidimensional (la superfície de l’esfera). És finit (és a dir, de volum finit) sense tenir límits.
Observem que hi ha una varietat de l’espai esfèric, l’«espai el·líptic». Se’l pot considerar com un espai esfèric en què els «punts oposats» són idèntics (no distingibles). En certa manera, podem veure un món el·líptic com un món esfèric amb simetria central.
Del que hem dit es dedueix que podem concebre espais tancats sense límits, entre els quals destaca l’espai esfèric (o el·líptic) per la seva simplicitat, ja que tots els seus punts són equivalents. El que hem dit planteja als astrònoms i als físics una qüestió summament interessant, la de si el món en què vivim és infinit o bé finit, a la manera del món esfèric. La nostra experiència no ens permet ni de lluny contestar aquesta pregunta. Però la teoria de la relativitat general permet respondre-la amb força seguretat.”
EINSTEIN, La teoria de la relativitat especial i general.
31. La possibilitat d’un univers finit
i tanmateix no limitat.
Ana Rubio @ 9:46 a. m.
2 Comments:
Imaginar. Criatures esfèriques, móns. Cercle. Equivalència i relativitat.
"Quan provin de construir una recta obtindran una corba."
"Les criatures de l’esfera, però, no necessiten donar la volta al món per adonar-se que no viuen en un món euclidià."
"Si les criatures esfèriques viuen en un planeta el sistema solar del qual ocupa només una part infinitament petita del món esfèric, no els és possible decidir si viuen en un món finit o en un d’infinit."
"És possible d’imaginar un espai esfèric? Imaginar un espai esfèric no és altra cosa que imaginar un conjunt d’experiències «espacials», és a dir, experiències amb cossos «rígids» en moviment. En aquest sentit, un espai esfèric és imaginable."
"Les rectes radials que parteixen de l’origen s’allunyen primer les unes de les altres, després tornen a apropar-se, i finalment convergeixen en el «punt oposat» al de partida, després de recórrer tot l’espai esfèric."
"Superfície de curvatura constant" (!)
Energia, matèria.
Llum!!!
Vaig trobar aquest missatge el dia d'avui, mentre que a l'oficina de gran utilitat va enviar l'enllaç a mi mateix i el més probable és un marcador quan a casa
Publicar un comentario
<< Home