viernes, diciembre 10, 2004

Hay un piano.

En el centro. Bicho negro, teclas blancas.

Banqueta, partitura, polvo. Foco y océanos oscuros.

Del otro lado oídos comprados para la audición. Para mirar.

Las manos y la mujer se acercan lentamente desde cierto ángulo.

Están frente al bicho. Se reconocen. Se colocan.

Las manos de la mujer van a tocar el piano.

Suenan...


martes, diciembre 07, 2004

Rima de los espejos


¿Me quieres?
Pregunta ella gota a gota en los espejos.

Quiéreme.
En cada gota responden ellos.



E = mc2

“Imaginem, en primer lloc, un món bidimensional. Criatures planes amb eines planes (especialment regles rígids plans) es mouen lliurement en un pla. Res no existeix per a elles fora d’aquest pla: tot el que s’hi esdevé, tot el que elles observen en elles mateixes i els seus objectes plans, està relacionat causalment. El món d’aquests éssers, a diferència del nostre, té dues dimensions espacials, però, com el nostre, s’estén il·limitadament. Hi caben infinits quadrats de varetes idèntics, és a dir, que el seu volum (superfície) és infinit. Aquests éssers poden dir que el seu món és «pla», en el sentit que amb les seves varetes poden realitzar les construccions de la geometria euclidiana del pla, on cada vareta representa la mateixa distància independentment de la seva posició.

Imaginem ara un altre món bidimensional, però no sobre un pla sinó sobre una superfície esfèrica. Les criatures planes, amb els seus regles i d’altres objectes, jeuen exactament en aquesta superfície i no poden abandonar-la; el seu enter univers perceptiu s’estén exclusivament sobre la superfície de l’esfera. Poden aquestes criatures considerar la geometria del seu món com una geometria bidimensional euclidiana, i les seves varetes com la realització de la «distància»? No poden. Perquè quan provin de construir una recta obtindran una corba, que nosaltres els «tridimensionals» anomenem cercle: una línia tancada d’una longitud finita determinada, que es pot mesurar amb una vareta. Aquest món té, d’altra banda, una superfície finita que es pot comparar amb la d’un quadrat de varetes. L’encís de sumir-se en aquesta reflexió rau en el reconeixement que el món d’aquests éssers és finit i tanmateix no té límits.

Les criatures de l’esfera, però, no necessiten donar la volta al món per adonar-se que no viuen en un món euclidià. Se’n poden convèncer a qualsevol part del seu món que no sigui massa petita. Per fer-ho, tracen a partir d’un punt i en totes direccions «línies rectes» de la mateixa longitud (tridimensionalment són arcs de circumferència), i anomenem circumferència a la línia que uneix els extrems lliures d’aquestes rectes. En la geometria euclidiana del pla, la raó entre el perímetre de la circumferència i el seu diàmetre, tots dos mesurats amb la mateixa vareta, és igual a una constant π independent del diàmetre de la circumferència. Les nostres criatures trobaran per a aquesta raó sobre la seva superfície esfèrica π [sin (r/R)] / [r/R] , és a dir, un valor menor que π , tant més petit com més gran sigui el radi de la circumferència en comparació amb el radi R del «món esfèric». A partir d’aquesta relació, les criatures de l’esfera en poden determinar el radi R, fins i tot quan només disposen d’una part relativament petita del seu món esfèric per fer les seves mesures. Si aquesta part és massa petita, no podran constatar que es troben en un món esfèric i no en un pla euclidià, perquè un fragment petit d’una superfície esfèrica es distingeix poc d’un fragment igual de petit d’un pla.

Així doncs, si les criatures esfèriques viuen en un planeta el sistema solar del qual ocupa només una part infinitament petita del món esfèric, no els és possible decidir si viuen en un món finit o en un d’infinit, perquè en tots dos casos la part del món accessible a la seva experiència és pràcticament plana o euclidiana. Veiem directament que, per a les nostres criatures esfèriques, el perímetre de la circumferència creix primer amb el radi fins assolir el «perímetre del món», per decréixer després gradualment fins anul·lar-se a mesura que el radi continua creixent. La superfície del cercle creix i creix fins que iguala la superfície total del món esfèric sencer.

Potser qui llegeix s’estranyi que haguem col·locat les nostres criatures precisament sobre una esfera i no una altra superfície tancada. Però això té la seva justificació, ja que la superfície d’una esfera es distingeix de la resta de superfícies tancades per la propietat que tots els seus punts són equivalents. És cert que la raó entre el perímetre P d’una circumferència i el seu radi r depèn de r, però donat r és el mateix per a tots els punts del món esfèric, que és una superfície de curvatura constant.

El món esfèric bidimensional té un anàleg tridimensional, l’espai esfèric tridimensional descobert per Riemann. Els seus punts també són tots equivalents, i té un volum finit determinat pel seu «radi» (2 π 2R3). És possible d’imaginar un espai esfèric? Imaginar un espai esfèric no és altra cosa que imaginar un conjunt d’experiències «espacials», és a dir, experiències amb cossos «rígids» en moviment. En aquest sentit, un espai esfèric és imaginable.

Des d’un punt tracem línies rectes (o tibem cordills) en totes direccions i en cada una d’elles assenyalem la longitud r mitjançant el regle unitat. Els extrems d’aquestes línies es troben sobre la superfície d’una esfera. Podem mesurar la seva superfície S mitjançant un quadrat unitari. En un món euclidià, S = 4 π r2; en un món esfèric, S és sempre menor que 4 π r2. A mesura que creix el radi, S creix des de zero fins a un màxim determinat pel «radi del món», per decréixer després gradualment fins anul·lar-se a mesura que el radi r de l’esfera continua creixent. Les rectes radials que parteixen de l’origen s’allunyen primer les unes de les altres, després tornen a apropar-se, i finalment convergeixen en el «punt oposat» al de partida, després de recórrer tot l’espai esfèric. És fàcil convèncer-se que l’espai esfèric tridimensional és del tot anàleg al bidimensional (la superfície de l’esfera). És finit (és a dir, de volum finit) sense tenir límits.

Observem que hi ha una varietat de l’espai esfèric, l’«espai el·líptic». Se’l pot considerar com un espai esfèric en què els «punts oposats» són idèntics (no distingibles). En certa manera, podem veure un món el·líptic com un món esfèric amb simetria central.

Del que hem dit es dedueix que podem concebre espais tancats sense límits, entre els quals destaca l’espai esfèric (o el·líptic) per la seva simplicitat, ja que tots els seus punts són equivalents. El que hem dit planteja als astrònoms i als físics una qüestió summament interessant, la de si el món en què vivim és infinit o bé finit, a la manera del món esfèric. La nostra experiència no ens permet ni de lluny contestar aquesta pregunta. Però la teoria de la relativitat general permet respondre-la amb força seguretat.”


EINSTEIN, La teoria de la relativitat especial i general.
31. La possibilitat d’un univers finit
i tanmateix no limitat.

miércoles, diciembre 01, 2004

Politeía

- Te mostraré, si miras bien, que algunos de los objetos de las percepciones no incitan a la inteligencia al examen, por haber sido juzgados suficientemente por la percepción, mientras otros sin duda la estimulan a examinar, al no ofrecer la percepción nada digno de confianza.
- Es claro -dijo Glaucón- que hablas de las cosas que aparecen a lo lejos y a las pinturas sombreadas.
- No -repliqué-, nos has dado con lo que quiero decir.
- ¿Qué quieres decir entonces?
- Los objetos que no incitan son los que no suscitan a la vez dos percepciones contrarias. A los que sí las suscitan los considero como estimulantes, puesto que la percepción no muestra más esto que lo contrario, sea que venga de cerca o de lejos. Te lo diré de un modo más claro: éstos decimos que son tres dedos, el meñique, el anular y el mayor.
- De acuerdo.
- Piensa ahora que hablo como viéndolos de cerca. Después obsérvalos conmigo de este modo.
- ¿De qué modo?
- Cada uno de ellos aparece igualmente como un dedo, y en ese sentido no importa si se lo ve en el medio o en el extremo, blanco o negro, grueso o delgado, y así todo lo de esa índole. En todos estos casos el alma de la mayoría de los hombres no se ve forzada a preguntar a la inteligencia qué es un dedo, porque de ningún modo la vista le ha dado a entender que el dedo sea a la vez lo contrario de un dedo.
- Sin duda.
- Es natural, entonces, que semejante percepción no estimule ni despierte a la inteligencia.
- Es natural.
- Pues bien, en cuanto a la grandeza y a la pequeñez de los dedos, ¿percibe la vista suficientemente, y le es indiferente que uno de ellos esté en el medio o en el extremo, y del mismo modo el tacto con lo grueso y lo delgado, con lo blando y lo duro? Y los demás sentidos ¿no se muestran defectuosos en casos semejantes? ¿O más bien cada uno de ellos procede de modo que, primeramente, el sentido asignado a lo duro ha sido forzado a lo blando, y transmite al alma que ha percibido una misma cosa como dura y como blanda?
- Así es.
- Pero ¿no es forzoso que en tales casos el alma sienta la dificultad con respecto a qué significa esta sensación si nos dice que algo es "duro", cuando de lo mismo dice que es "blando"? ¿Y también respecto de qué quiere significar la sensación de lo liviano y lo pesado con "liviano" o "pesado", cuando dice que lo pesado es "liviano" y lo liviano "pesado"?
- En efecto, son extrañas comunicaciones para el alma, que reclaman un examen.
- Es natural que en tales casos el alma apele al razonamiento y a la inteligencia para intentar examinar, primeramente, si cada cosa que se le transmite es una o dos.
- Sin duda.
- Y si parecen dos, cada una parecerá una y distinta de la otra.
- Sí.
- Y si cada una de ellas es una y ambas son dos, pensará que son dos si están separadas; pues si no están separadas, no pensará que son dos sino una.
- Correcto.
- Pero decimos que la vista ha visto lo grande y pequeño no separadamente, sino confundidos, ¿no es así?
- Sí.
- Y para aclarar esto la inteligencia ha sido forzada a ver lo grande y lo pequeño, no confundiéndolos sino distinguiéndolos.
- Es verdad.
- ¿No es acaso a raíz de eso que se nos ocurre preguntar primeramente qué es lo grande y qué lo pequeño?
- Sin duda.
- Y de este modo era como hablábamos de lo inteligible, por un lado, y de lo visible, por otro.
- Completamente cierto.
- Y esto es lo que intentaba decir hace un momento, cuando afirmaba que algunos objetos estimulan el pensamiento y otros no, en lo cual definía como estimulantes aquellos que producían sensaciones contrarias a la vez, mientras los otros no excitaban a la inteligencia.
- Comprendo, y también a mí me parece así.
- Pues bien, ¿en cuál de las dos clases te parece que están el número y la unidad?
- No me doy cuenta.
- Razona a partir de lo dicho. En efecto, si la unidad es vista suficientemente por sí misma o aprehendida por cualquier otro sentido, no atraerá hacia la esencia, como decíamos en el caso del dedo. Pero si se la ve en alguna contradicción, de modo que no parezca más unidad que lo contrario, se necesitará un juez, y el alma forzosamente estará en dificultades e indagará, excitando en sí misma el pensamiento, y se preguntará qué es en sí la unidad; de este modo el aprendizaje concerniente a la unidad puede estar entre los que guían y vuelven el alma hacia la contemplación de lo que es.
- Por cierto -dijo Glaucón-, así pasa con la visión de la unidad y no de modo mínimo, ya que vemos una cosa como una y a la vez como infinitamente múltiple.


PLATÓN, Diálogos IV República,
Libro VII, 523b - 525a

Nota (previa): Olvídese por un momento todo el platonismo y lo platónico, y léase el texto.